平衡点的稳定性

该部分内容与 Lyapunov 稳定性有大量重复之处，重复内容不加赘述。

考虑一个 n 维的自治系统 \(\dot{\mathbf{x}} = f(\mathbf{x})\) ，其平衡点定义为满足 \(\dot{\mathbf{x}} = f(\mathbf{x}) = 0\) 的点。

1 线性系统的稳定性

考虑线性系统 \(\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x}\) ，如果 \(A\) 的所有特征值 \(\lambda_i\) 都满足 \(Re\left[\lambda_i\right] < 0\) ，则称矩阵 \(A\) 为 Hurwitz 矩阵或者稳定矩阵。

我们可以说明，当且仅当 \(A\) 为 Hurwitz 矩阵时，线性系统在原点处全局渐近稳定。

定理：对于任意 Hurwitz 矩阵 A 和任意对称正定矩阵 Q ，都存在唯一的对称正定矩阵 P 满足 Lyapunov 方程：

\[A^TP + PA = -Q\]

证明：

取

\[P = \int_{0}^{+\infty}e^{A^\top t}Qe^{A t}\mathrm{d}t\]

因为 A 是 Hurwitz 矩阵，所以矩阵指数 \(e^{At}\) 以指数速度衰减，积分值收敛。此时，有

\[\begin{aligned} A^TP+PA &= \int_{0}^{+\infty}A^\top e^{A^\top t}Qe^{A t}\mathrm{d}t + \int_{0}^{+\infty}e^{A^\top t}Qe^{A t}A\mathrm{d}t\\ &= \int_{0}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(e^{A^\top t}Qe^{A t}\right)\mathrm{d}t\\ &= \left(e^{A^\top t}Qe^{A t} \right)|_{0}^{+\infty}\\ &= -Q \end{aligned}\]

P 的对称性显而易见。我们接下来证明 P 的正定性和唯一性。

\[\begin{aligned} x^\top P x &= \int_{0}^{+\infty}x^\top e^{A^\top t}Qe^{A t}x\mathrm{d}t\\ &= \int_{0}^{+\infty}\left(e^{A t}x\right)^\top Qe^{A t}x\mathrm{d}t > 0 \end{aligned}\]

上式成立是因为 Q 的正定性。

假设有另一个不同于 \(P\) 的对称正定矩阵 \(\tilde P\) 满足要求，则有

\[A^\top \left(\tilde P-P\right) +\left(\tilde P-P\right) A = 0\]

对于非零向量 \(x\) ，引入一个辅助函数 \(\phi(x,t) = \left(e^{A t}x\right)^\top\left(\tilde P-P\right)\left(e^{A t}x\right)\)，其对时间的一阶导数为

\[\begin{aligned} \dot{\phi} &= \left(A e^{A t}x\right)^\top \left(\tilde P - P\right)\left(e^{At}x\right) + \left(e^{A t}x\right)^\top \left(\tilde P - P\right)\left(Ae^{At}x\right)\\ &= \left(e^{A t}x\right)^\top \left[A^\top \left(\tilde P-P\right) +\left(\tilde P-P\right) A\right] \left(Ae^{At}x\right)\\ &= 0 \end{aligned}\]

所以函数 \(\phi(x,t)\) 关于时间是个常值函数。因为 A 是 Hurwitz 矩阵，所以 \(\lim_{t\to \infty} \phi = 0\) ，所以 \(\phi \equiv 0\) ，所以 \(\tilde P = P\) 。

2 指数稳定性

我们只考虑系统平衡点在原点的情况。平衡点不在原点的情况与之等价。

2.1 定义

考虑一个非线性系统 \(\dot{\mathbf{x}} = f(\mathbf{x})\) ，其中 \(f(\mathbf{x})\) 是一个定义域包含原点的局部 Lipschitz 函数，且 \(f(0) = 0\) ，如果存在正常数 \(c, k, \lambda\) 使得

\[\left\|\mathbf{x}(t)\right\| \le k\left\|\mathbf{x}(0)\right\|e^{-\lambda t}, \forall t \ge 0\]

对于所有原点邻域内的初值 \(\left\|\mathbf{x}(0)\right\| < c\) 都成立，则称系统的平衡点 \(\mathbf{x} = 0\) 是指数稳定的。如果 \(c\to \infty\) ，则称原点是全局指数稳定的。

2.2 判定定理

我们要求 \(f\) 在原点处是可微的。

如果 \(f(\mathbf{x})\) 的雅可比矩阵 \(\dfrac{\partial f}{\partial \mathbf{x}}\) 在原点处的所有特征值实部均小于 0 （即 \(\dfrac{\partial f}{\partial \mathbf{x}}|_{\mathbf{x} = 0}\) 是 Hurwitz 矩阵），则该系统在原点处是指数稳定的。

2.3 性质

指数稳定性是个比渐近稳定性更强的性质。这里“强”的意思是，指数稳定性是渐近稳定性的充分条件。这很容易证明， \(kc\) 相当于渐近稳定性里的 \(\varepsilon\) ， \(c\) 相当于渐近稳定性里的 \(\delta\) ，对于初值 \(\left\|\mathbf{x}(0)\right\| < c = \delta\) 的情况，系统状态 \(\left\|\mathbf{x}(t)\right\|\) 始终不会超过 \(kc=\varepsilon\) ，并且当 \(t\to \infty\) 的时候， \(\left\|\mathbf{x}(t)\right\| \to 0\) 。