一、引论

概念笔记

1 局部 Lipschitz

考虑一个函数 \(y = f(x)\)，其中 \(x\) 和 \(y\) 都是向量。对于一个给定的点 \(x_0\)，如果存在一个邻域 \(N(x_0, r)\) （\(N(x_0, r) = \{\parallel x-x_0 \parallel < r\}\)）和正常数 \(L\)，使得 \(\forall x, y \in N(x_0, r)\)，有 Lipschitz 条件如下：

\[ \parallel f(x) - f(y) \parallel \le L \parallel x - y \parallel \]

其中，\(L\) 称为 Lipschitz常数，范数 \(\parallel x \parallel\) 定义为

\[ \parallel x \parallel = \sqrt{x^Tx} \]

那么就称 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 上是局部 Lipschitz 的。

由于该定义要求 \(\forall x, y \in N(x_0, r)\)，所以 \(x_0\) 必须在函数的定义域里。

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Lipstchitz 性质指的是系统在某个点附近，其广义斜率是有界的。考虑一维的情况，诸如 \(y = x^{10000}, y = \sin(0.5x+0.7), y = e^{9x}\) 等函数，在 \(x_0 = 0\) 位置都是局部 Lipschitz 的。

而 \(y = \sqrt{\left|x\right|}\) 在 \(x_0 = 0\) 处就不是局部 Lipschitz 的，因为它在该点处的斜率无界：

\[\begin{aligned} \lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} &= \lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{x}}{x} = \lim_{x\to0^+}\frac{1}{\sqrt{x}} = +\infty\\ \lim_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} &= \lim_{x\to0^-}\frac{\sqrt{-x}}{x} = \lim_{x\to0^-}\frac{1}{-\sqrt{-x}} = -\infty \end{aligned}\]

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如果 \(f(x)\) 的定义域是开的且连通的，\(f(x)\) 在定义域的任意一个点上都局部 Lipschitz，那么我们就称 \(f(x)\) 在定义域上是局部 Lipschitz 的。

对于一个集合 \(W\) ，如果其中的任意两个点 \(x, y\) ，\(f(x)\) 都满足 Lipschitz 条件，且 Lipschitz 常数与 \(x,y\) 的选择无关，那么 \(f(x)\) 在 \(W\) 上就是 Lipschitz 的。

在定义域上局部 Lipschitz 的函数不一定是 Lipschitz 的，因为常数可能并非一致。但是，这个函数在定义域里的一个紧子集（有界闭集）上必定是 Lipschitz 的。

如果 \(W = \mathbb{R}^n\)，那么就称这个函数是全局 Lipschitz 的。

更一般地，如果 \(f(x)\) 和它的偏导数 \(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\) 在某个区域（开的连通集）上都是连续的，那么有 \(f(x)\) 是局部 Lipschitz 的。更进一步，\(f(x)\) 是全局 Lipschitz 的，当且仅当该函数和它的偏导数在 \(\mathbb{R}^n\) 上连续且一致有界（每个偏导数都有界）。

1.1 局部 Lipschitz 性质的用处

局部 Lipschitz 性质可以用于保证无控制系统 \(\dot{x} = f(t,x)\) 解的存在性和唯一性：

1.1.1 引理1

如果 \(f(t,x)\) 关于 \(t\) 分段连续，并且对于所有的 \(t\in[t_0, t_1]\)，\(f(t,x)\) 在初值 \(x_0\) 位置是局部 Lipschitz 的，那么存在一个正值 \(\delta > 0\)，使得上述无控制系统状态方程的初值问题 \(x(t_0) = x_0\) 在 \([t_0, t_0+\delta]\) 上存在唯一解。

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换言之，倘若 \(f(t,x)\) 不是局部 Lipschitz 的，那么 \(x(t_0) = x_0\) 的解在 \([t_0, t_0+\delta]\) 上不存在唯一解。

仍然举一个一维的例子： \(\dot{x} = \sqrt{\left|x\right|}\) 初值 \(x(t_0) = 0\) ，它可能的解为 \(x(t) = 0, x(t) = \dfrac{1}{4}t^2\) 。

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1.1.2 引理2

更进一步，如果 \(f(t,x)\) 对于所有 \(t\in [t_0, t_1]\) 是全局 Lipschitz 的，那么初值问题在 \([t_0, t_1]\) 上存在唯一解。

1.1.3 引理3

引理2需要全局 Lipschitz，这个条件对于大部分非线性函数而言太强了。引理3不需要这个条件。

同样地，设 \(f(t,x)\) 关于 \(t\) 分段连续，并且对所有的 \(t \ge t_0\)，在某个关于 \(x\) 的区域 \(D\)（开的连通集）上是局部 Lipschitz 的。设 \(W\) 是 \(D\) 的一个紧子集（有界闭集），如果 \(x_0 \in W\)，并且初值问题 \(\dot{x} = f(t,x), x(t_0) = x_0\) 的解在 \(t\ge t_0\) 时都在 \(W\) 内，那么这个解就是 \(t\ge t_0\) 时的唯一解。

2 自治/时不变

“自治”与“时不变”是一个意思，用来描述系统的状态演变与时间无关，也即与时间轴的零点选取无关，也即具有时间平移不变性。

3 微分同胚

微分同胚指的是一个连续可导的映射，同时存在一个连续可导的逆映射。

我们可能经常需要对状态方程里的 \(x\) 进行变量替换 \(z = T(x)\) 转换成 \(z\)。

一方面，我们需要映射 \(T\) 是可逆的，并且 \(x = T^{-1}(z)\) 需要对所有的 \(z \in T(D)\)成立，其中 \(D\) 是该映射的定义域。另一方面，我们要求 \(x\) 和 \(z\) 的导数连续，也就是说映射 \(T\) 和 \(T^{-1}\) 都是连续可导的。

如果存在一个邻域 \(N(x_0,r)\) 使得映射 \(T(x)\) 在其上是一个微分同胚，那么就称该映射在 \(x_0\) 处局部微分同胚。

如果某映射在 \(\mathbb{R}^n\) 上是一个微分同胚，并且值域也是 \(\mathbb{R}^n\)，那么就称该映射是全局的微分同胚。

3.1 引理1

对于一个连续可导映射，它的 Jacobi 矩阵如果在某处可逆，那么这个映射就在该处是局部微分同胚；若矩阵在 \(\mathbb{R}^n\) 上可逆并且（\(\lim_{\parallel x \parallel \to \infty} \parallel T(x) \parallel = \infty\)），那么这个连续可导映射就是全局微分同胚。

4 本质非线性现象

4.1 有限逃逸时间

有限逃逸时间：系统状态在有限时间内趋于无穷大，比如 \(x = \frac{1}{t-1}\)。

4.2 多重孤立平衡点

多重孤立平衡点：对于一个线性系统 \(\dot{x} = Ax\)，满足 \(Ax = 0\) 的平衡点不可能是孤立的。假设 \(x_1, x_2\) 分别是两个平衡点，那么 \(ax_1 + (1-a) x_2\) 上的所有点肯定都是平衡点。但是非线性系统就可以用多重孤立平衡点，比如 \(\dot{x} = \sin(x)\)，就有孤立平衡点 \(x = k\pi, k = 0,\pm1, \pm2...\)

4.1 极限环

线性系统的振荡是由于一对纯虚数特征值，这个振荡不稳定，稍有干扰系统的特征值就会偏移，并且振荡幅值与初始条件有关。

举个例子：

考虑线性系统

\[\dot{x} = Ax = \begin{bmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix}x, x(t_0) = x_0 = \begin{bmatrix}3\\ 7\end{bmatrix}\]

先把 \(A\) 对角化，得到：

\[\begin{aligned} T^{-1}AT &= \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\ \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 1\\ i & -i\end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix}i & 0\\ 0 & -i\end{bmatrix} \end{aligned}\]

可以解得该线性系统初值问题的解为：

\[\begin{aligned}x &= e^{A(t-t_0)}x_0\\ &= Te^{T^{-1}AT(t-t_0)}T^{-1}x_0\\ &= \begin{bmatrix}1 & 1\\ i & -i\end{bmatrix} \begin{bmatrix}e^{i(t-t_0)} & 0\\ 0 & e^{-i(t-t_0)}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\ \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\end{bmatrix}x_0\\ &= \begin{bmatrix}\cos(t-t_0) & \sin(t-t_0)\\ -\sin(t-t_0) & \cos(t-t_0)\end{bmatrix}x_0 \end{aligned}\]

可以发现，线性系统特征值是一对纯虚数（\(i, -i\)），系统是振荡的，并且振幅与初值条件 \(x_0\) 相关。

但是非线性系统可以产生固定幅值和频率的稳定振荡，与初值无关。现实世界中，稳定的振荡只能出现在非线性系统里。 这种振荡被称为极限环。

参考资料

《非线性控制》 [美] Hassan K. Khalil 著，韩正之、王划、王少华、刘磊坡、谢七月 译，机械工业出版社