Laplace变换初/终值定理
Introduction
本文的诞生缘于自控课上老师的一句话：“对于三角函数输入，响应不能利用（拉氏变换后）终值定理求解。”本文回答了为什么不能这么做。
Background
1 LT的存在定理
拉氏变换的存在定理
若复值函数 \(f(t)\) 满足以下两条件：
（1）在 \(t \ge 0\) 的任意有限区间上分段连续。
（2）存在常数 \(M > 0\) 与 \(\sigma_0 > 0\)，使得
\[ |f(t)| < M e^{\sigma_0t},t>0, \]
则 \(\mathcal{L}[f(t)]\) 在半平面 \(Re(s) > 0\) 上存在且解析。这里的 \(\sigma_0\) 称为 \(f(t)\) 的增长指数。
这里注意一下，\(f(t)\) 是一个实变量复值函数。我们下面考虑的 \(f(t) = A \sin(\omega t + \phi)\)，指的是实三角函数，与复变函数中的 \(\sin(z)\) 不同。
此外还要说明一点，该定理是充分不必要的。但我们依然可以由它来判定三角函数拉式变换的存在性，并且算出三角函数的增长指数。
我们考虑 \(f(t) = A \sin(\omega t + \phi)\) 的增长指数的最小值。
其实答案是显然的：\(\sigma_{0_{min}} = 0\).
证明
1）显然 \(A \sin(\omega t + \phi)\) 在 \(\mathbb{R}\) 上连续，满足条件(1).
2）当 \(\sigma_0 = 0\) 时，因为 \(|f(t)| \le 1\)，所以只需取 \(\forall M > 1\)，即可满足条件(2). 所以 \(\sigma_0 = 0\) 是符合要求的.
3）下用反证法证明 \(\sigma_0 < 0\) 不符合要求.
假设 \(\exists \sigma_1 < 0\) 符合要求，对应的常数为 \(M_1\).
考虑 \(t \to \infty\) 的情况：\(\lim_{t \to \infty} M_1e^{\sigma_1 t} = 0\). 因此，总能找到一个充分大的 \(t_1\)，使得条件(2)不成立。所以假设错误。
综上所述：\(\sigma_{0_{min}} = 0\). \(\quad \Box\)
2 终值定理的使用条件
终值定理
若 \(\mathcal{L}[f(t)] = F(s)\)，\(\mathrm{d}f/\mathrm{d}t\) 是可以 Laplace 变换的，且 \(f(+\infty)\) 存在，\(sF(s)\) 的所有奇点在半平面 \(Re(s) < 0\) 内（除了原点），则有终值定理：
\[ f(+\infty) = \lim_{s \to 0}sF(s) \]
思考细节
我们考虑输入信号为 \(r(t) = A \sin(\omega t + \theta)\).（三角函数的标准形式）
对其做拉氏变换，可以得到 \(R(s) = A \frac{s \sin\theta + \omega \text{cos}\theta}{s^2 + \omega^2}\).
进一步有：
\[sR(s) = As\frac{s \sin\theta + \omega \text{cos}\theta}{s^2 + \omega^2}\]
我们可以很容易地得到它的奇点：\(s_{p_1,p_2} = \pm j\omega\) .
所以三角函数输入不满足终值定理的使用条件。（不满足第三句话）。
不知道是否严谨的推导方式
首先，我们分析 \(f(t)\) 一阶导数的 Laplace 变换，同时设 \(\mathcal{L}(f(t)) = F(s)\) .
\[\begin{aligned}
\mathcal{L}(\dot{f}) &= \int_{0_+}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}e^{-st}\mathrm{d}t\\
&= \int_{0_+}^{+\infty}e^{-st}\mathrm{d}f\\
&= f(t)e^{-st}|_{0_+}^{+\infty} -\int_{0_+}^{+\infty}f\mathrm{d}e^{-st}\\
&= -f(0_+) +sF(s)
\end{aligned}\]
因此，有
\[\begin{aligned}
\lim_{s\to 0}sF(s) &= \lim_{s\to 0}\int_{0_+}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}e^{-st}\mathrm{d}t + f(0_+)\\
&= \int_{0_+}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}(\lim_{s\to 0}e^{-st})\mathrm{d}t + f(0_+)\\
&= \lim_{t\to \infty}f(t)
\end{aligned}\]
以及初值定理（初值定理只要求 f 一阶导可以拉普拉斯变换，并且等式左边存在）
\[\begin{aligned}
\lim_{s\to \infty}sF(s) &= \lim_{s\to \infty}\int_{0_+}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}e^{-st}\mathrm{d}t + f(0_+)\\
&= \int_{0_+}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}(\lim_{s\to \infty}e^{-st})\mathrm{d}t + f(0_+)\\
&= f(0_+)
\end{aligned}\]
附录 三角函数的拉式变换
考虑
\[ f(t) = A \sin(\omega t + \theta) = A\frac{e^{i(\omega t + \theta)} - e^{-i(\omega t + \theta)}}{2i} \]
求 \(f(t)\) 的拉式变换，过程如下：
\[
\begin{aligned}
\mathcal{L}[f(s)] &= \int\limits_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}dt
\\ &= \frac{A}{2i}[e^{i\theta}\int\limits_{0}^{\infty} e^{(i\omega - s)t}dt - e^{-i\theta}\int\limits_{0}^{\infty} e^{-(i\omega + s)t}dt]
\\ （注：&=\frac{A}{2i}[e^{i\theta}\mathcal{L}(e^{i\omega t}) - e^{-i\theta}\mathcal{L}(e^{-i\omega t})]）
\\ &= \frac{A}{2i}[\frac{e^{i\theta}}{i\omega - s}e^{(i\omega -s)t}|_{0}^{\infty} + \frac{e^{-i\theta}}{i\omega + s}e^{-(i\omega + s)t}|_0^{\infty}]
\\ &= \frac{A}{2i}[\frac{e^{i\theta}}{s-i\omega} - \frac{e^{-i\theta}}{i\omega + s}], \quad while\quad Re(s) > Re(i\omega) = 0
\\ &= \frac{A}{2i}\frac{e^{i\theta}(s + i\omega) - e^{-i\theta}(s-i\omega)}{s^2 + \omega^2}
\\ &= \frac{A}{2i}\frac{s(e^{i\theta} - e^{-i\theta}) + i\omega({e^{i\theta} + e^{-i\theta}})}{s^2 + \omega^2}
\\ &= \frac{A}{2i}\frac{2is\sin\theta + 2i\omega \text{cos}\theta}{s^2 + \omega^2}
\\ &= A\frac{s\sin\theta + \omega \text{cos}\theta}{s^2 + \omega^2}
\end{aligned}
\]