线性定常系统状态空间方程的解

考虑状态空间方程

\[\begin{aligned} \dot{\mathbf{x}} &= A\mathbf{x}+B\mathbf{u}\\ \mathbf{y} &= C\mathbf{x}+D\mathbf{u} \end{aligned}\]

我们重点考虑其中微分方程的部分。

齐次状态方程的解

当输入 \(\mathbf{u} \equiv \mathbf{0}\) 时，状态空间方程简化为齐次形式：

\[\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x},\ \mathbf{x}(t_0) = \mathbf{x}_0\]

该方程的解为 \(\mathbf{x} = e^{A(t-t_0)}\mathbf{x}_0\) . 对该系统而言，\(\Phi(t,t_0) = e^{A(t-t_0)}\) 称为状态转移矩阵，包含系统状态从 \(t_0\) 时刻运动到 \(t\) 时刻的全部信息。

状态转移矩阵的计算方式

通过无穷级数延拓指数函数，定义状态转移矩阵（不含 \(t\) ）：

\[e^{A} = I + A + \frac{1}{2}A^2 + \frac{1}{3!}A^{3}+\dots\]

若 \(A\) 不是满秩的，则可通过上式直接求解（ \(A^{j} = 0, j> rank(A)\) ）.

若 \(A = diag\begin{bmatrix}\lambda_1 & \lambda_2 & \dots & \lambda_n\end{bmatrix}\) ，由上式可知 \(e^{A} = diag\begin{bmatrix}e^{\lambda_1} & e^{\lambda_2} & \dots & e^{\lambda_n}\end{bmatrix}\) .

若 \(A\) 有 n 个互异的特征值，必然可以进行相似对角化，有 \(A = Wdiag\begin{bmatrix}\lambda_1 & \lambda_2 & \dots & \lambda_n\end{bmatrix}W^{-1}\) ，则 \(e^{A} = Wdiag\begin{bmatrix}e^{\lambda_1} & e^{\lambda_2} & \dots & e^{\lambda_n}\end{bmatrix}W^{-1}\) .

更一般地，满秩的 \(A\) 必然与一个 Jordan 标准型相似。我们考虑一个 Jordan 标准块 \(A_i\)：

\[\begin{aligned} A_i &= \begin{bmatrix}\lambda_i & 1 &\\ &\lambda_i & 1 & \\&&\ddots&\\&&&\lambda_i&1\\&&&&\lambda_i\end{bmatrix} = \lambda_{i}I+N\\ e^{A_i} &= e^{\lambda_{i}I+N}\\ &=e^{\lambda_i}e^{N}\\ &=e^{\lambda_i}\begin{bmatrix}1 & 1/1! & 1/2! & \cdots & 1/(m-1)!\\ 0 & 1 & 1/1! & \cdots &1/(m-2)!\\\vdots & &\ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & \cdots & & 1 & 1/1!\\0 & \cdots & &0 & 1\end{bmatrix} \end{aligned}\]

若 \(A = P^{-1}diag\begin{bmatrix}A_1 & A_2 & \dots & A_k\end{bmatrix}P\) ，则 \(e^{A} = P^{-1}diag\begin{bmatrix}e^{A_1} & e^{A_2} & \dots & e^{A_k}\end{bmatrix}P\) .

此外，还可以通过 Laplace 变换求解含时间 \(t\) 的状态转移矩阵 \(e^{At}\)：

\[\begin{aligned} s\mathbf{X}(s)-\mathbf{x}(t_0) &= A\mathbf{X}(s)\\ \mathbf{X}(s) &= (sI-A)^{-1}\mathbf{x}(t_0)\\ \Rightarrow e^{At} &= \mathcal{L}^{-1}\left[(sI-A)^{-1}\right]\end{aligned}\]

非齐次状态方程的解

直接法求解：

\[\begin{aligned} \dot{\mathbf{x}}-A\mathbf{x} &= B\mathbf{u}\\ e^{-At}(\dot{\mathbf{x}}-A\mathbf{x}) &= e^{-At}B\mathbf{u}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(e^{-At}\mathbf{x}) &= e^{-At}B\mathbf{u}\\ \int_{t_0}^{t}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\tau}(e^{-At}\mathbf{x})\mathrm{d}\tau &= \int_{t_0}^{t}e^{-A\tau}B\mathbf{u}\mathrm{d}\tau\\ e^{-At}\mathbf{x}(t)&=e^{-At_0}\mathbf{x}_0 + \int_{t_0}^{t}e^{-A\tau}B\mathbf{u}\mathrm{d}\tau\\ \mathbf{x}(t) &= e^{A(t-t_0)}\mathbf{x}_0 + \int_{t_0}^{t}e^{A(t-\tau)}B\mathbf{u}\mathrm{d}\tau \end{aligned}\]

Laplace 变换法求解：

\[\begin{aligned} s\mathbf{X}(s)-\mathbf{x}_0 &= A\mathbf{X}(s)+B\mathbf{U}(s)\\ \mathbf{X}(s) &= (sI-A)^{-1}(\mathbf{x}_0+B\mathbf{U}(s))\\ \mathbf{x}(t) &= e^{At}\mathbf{x}_0+\int_{0}^{t}e^{A\tau}B\mathbf{u}\mathrm{d}\tau \end{aligned}\]