能控性与能观性

有些著作会说“可控性”“可观性”，表达的是同一个意思。英文对应 “Controllability” "Observability"。笔者本科阶段修读《现代控制理论》时，老师采用的说法是“能控性”“能观性”，本篇因而沿用这一表述。

1 定义

下文称“系统”，指的是如下线性定常 MIMO 系统：

\[\begin{aligned} \dot{\mathbf{x}} &= A\mathbf{x} + B\mathbf{u}\\ \mathbf{y} &= C\mathbf{x} + D\mathbf{u} \end{aligned}\]

其中 \(\mathbf{x}\in \mathbb{R}^n\) 是状态变量， \(\mathbf{u}\in\mathbb{R}^n\) 是控制输入， \(\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n\) 是系统输出。 \(A,B,C,D \in \mathbb{R}^{n\times n}\) 是定常的参数矩阵，其中 \(A\) 被称为系统矩阵， \(B\) 被称为控制矩阵。

能控性 指的是对于任意初始时刻 \(t_0\) 和任意初始系统状态 \(\mathbf{x}_0\) ，我们总能选取一个控制输入 \(\mathbf{u}\) 使得系统状态 \(\mathbf{x}\) 在有限时间里运动到任意期望状态 \(\mathbf{x}_f\) 。

能控性的定义，不要求系统具体用多少时间达到期望状态，也不要求系统状态沿怎样一个路径变化。

能观性 指的是已知一个时间段内系统输出 \(\mathbf{y}(t)\) 和控制输入 \(\mathbf{u}(t)\) ，我们即可确定系统状态初值 \(\mathbf{x}_0\) ，继而可以确定系统在该时间段内任意时刻对应的状态。

2 能控性

能控性的定义里丝毫没有提及系统输出。因此，考察一个系统的能控性，只需要考察其系统矩阵 \(A\) 和控制矩阵 \(B\) 。为了简化表述，在考察系统能控性时，我们会采用 \((A,B)\) 来表示该系统。