能控性与能观性

有些著作会说“可控性”“可观性”，表达的是同一个意思。英文对应 “Controllability” "Observability"。笔者本科阶段修读《现代控制理论》时，老师采用的说法是“能控性”“能观性”，本篇因而沿用这一表述。

定义

下文称“系统”，指的是如下线性定常 MIMO 系统：

\[\begin{aligned} \dot{\mathbf{x}} &= A\mathbf{x} + B\mathbf{u}\\ \mathbf{y} &= C\mathbf{x} + D\mathbf{u} \end{aligned}\]

其中 \(\mathbf{x}\in \mathbb{R}^n\) 是状态变量， \(\mathbf{u}\in\mathbb{R}^n\) 是控制输入， \(\mathbf{y}\in\mathbb{R}^n\) 是系统输出。 \(A,B,C,D \in \mathbb{R}^{n\times n}\) 是定常的参数矩阵，其中 \(A\) 被称为系统矩阵， \(B\) 被称为控制矩阵。

能控性 指的是对于任意初始时刻 \(t_0\) 和任意初始系统状态 \(\mathbf{x}_0\) ，我们总能选取一个控制输入 \(\mathbf{u}\) 使得系统状态 \(\mathbf{x}\) 在有限时间里运动到任意期望状态 \(\mathbf{x}_f\) 。

能控性的定义，不要求系统具体用多少时间达到期望状态，也不要求系统状态沿怎样一个路径变化。

能观性 指的是已知一个时间段内系统输出 \(\mathbf{y}(t)\) 和控制输入 \(\mathbf{u}(t)\) ，我们即可确定系统状态初值 \(\mathbf{x}_0\) ，继而可以确定系统在该时间段内任意时刻对应的状态。

能控性

仅考虑离散系统。连续系统的推导思路类似。

考虑初始状态 \(\mathbf{x}_0\) ，N 时刻的最终状态 \(\mathbf{x}_{N}\) ，有

\[\begin{aligned} \mathbf{x}_N &= A\mathbf{x}_{N-1}+B\mathbf{u}_{N-1}\\ &= A(A\mathbf{x}_{N-2}+B\mathbf{u}_{N-2})+B\mathbf{u}_{N-1}\\ &= \cdots\\ &= A^{N}\mathbf{x}_0+A^{N-1}B\mathbf{u}_0 + A^{N-2}B\mathbf{u}_{1} + \cdots+B\mathbf{u}_{N-1}\\ &= \begin{bmatrix}B & AB & A^2B & \cdots & A^{N-1}B\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathbf{u}_{N-1}\\\mathbf{u}_{N-2}\\ \vdots\\\mathbf{u}_0\end{bmatrix}+A^{N}\mathbf{x}_0\\ \implies &\begin{bmatrix}B & AB & A^2B & \cdots & A^{N-1}B\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathbf{u}_{N-1}\\\mathbf{u}_{N-2}\\ \vdots\\\mathbf{u}_0\end{bmatrix} = \mathbf{x}_N - A^{N}\mathbf{x}_0 \end{aligned}\]

令矩阵 \(G = \begin{bmatrix}B & AB & A^2B & \dots & A^{N-1}B\end{bmatrix}\) ，则可知 \(G\) 的尺寸为 \(n\times mN\) ，一般情况下 \(mN>n\) ，这是一个欠定的线性方程组。

线性方程组解的定理

设 \(G\) 和 \(\bar{G}\) 分别为线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，则

线性方程组有解等价于 \(\mathrm{rank}(G) = \mathrm{rank}(\bar{G})\) ；

线性方程组无解等价于 \(\mathrm{rank}(G) < \mathrm{rank}(\bar{G})\) .

当线性方程组有解时，若 \(\mathrm{rank}(G)\) 等于未知量个数，则有唯一解；

若 \(\mathrm{rank}(G)\) 小于未知量个数，则有无穷多解。

系统 \((A,B)\) 能控 \(\Longleftrightarrow\) 对于任意 \(\mathbf{x}_N\) ，该线性方程组有解。

因为 \(\mathbf{x}_N\) 可以任意取，所以增广矩阵 \(\bar{G}\) 必定存在行满秩的情况，要使此时的线性方程组也有解，则系数矩阵 \(G\) 必须是行满秩的。所以，系统 \((A,B)\) 能控 \(\Longleftrightarrow \mathrm{rank}(G) = n\) .

更进一步，根据 Hamilton-Caley 定理的推论，\(A^k,k\ge n\) 可以表示为 \(A^i, i<n\) 的线性组合。所以，\(\mathrm{rank}(G) = n \Longleftrightarrow \mathrm{rank}\begin{bmatrix}B & AB & A^2B & \cdots & A^{n-1}B\end{bmatrix} = n\) .

对于 LTV 线性时变系统，无法做此简化，只能把 N 项的 \((A_j,B_j)\) 都算出来，然后判断矩阵 \(G\) 是否行满秩。

我们称矩阵 \(Q_c =\begin{bmatrix}B & AB & A^2B & \cdots & A^{n-1}B\end{bmatrix}\) 为 能控性矩阵 。系统 \((A,B)\) 能控 \(\Longleftrightarrow\) 能控性矩阵行满秩。

能观性

见 “观测器” 中的系统能观性一文。