引言（系统能观性）

为什么需要观测器

我们先考虑简单的线性定常连续系统：

\[\begin{aligned}\dot{\mathbf{x}} &= A\mathbf{x}+B\mathbf u\\ \mathbf{y}&= C\mathbf{x}+D\mathbf{u} \end{aligned}\tag{1-1}\]

为了控制或其它目的，我们需要获知系统内部状态信息，即状态变量 \(\mathbf{x}\) 的值。一般而言，我们已知控制输入 \(\mathbf{u}\) ，可通过特定传感器获知系统输出 \(\mathbf{y}\) ，但难以通过传感器直接获取状态变量 \(\mathbf{x}\) 中的每一个分量值。因此，我们要设计观测器，间接观测状态变量。

系统能观测吗

我们首先给出能观性的定义：

已知系统 \((A,B,C,D)\) 和一个时间段 \(t\in[t_0, t_f]\) ，如果我们能根据该时间段内系统的输出 \(\mathbf{y}(t)\) 和控制输入 \(\mathbf{u}(t)\) 来唯一确定初始状态 \(\mathbf{x}(0)\) ，那么系统就是完全能观的。

Question

Q：为什么只要求确定初始状态，而不是时间段内任意时刻的状态？

A：因为已知系统 \((A,B,C,D)\) 、初始状态和控制输入，即可求出任意时刻的系统状态。

\[\mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}(0)+\int_{0}^te^{A(t-\tau)}B\mathbf{u}(\tau)\mathrm{d}\tau\]

观察（1-1）式，其中 \(B\mathbf{u}\) 和 \(D\mathbf{u}\) 都是已知信息，倘若 \(\mathbf{u} = \mathbf{0}\) 时系统完全能观，那么当 \(\mathbf{u} \neq \mathbf{0}\) 时系统也是完全能观的。换言之，系统是否能观，仅与矩阵 \(A,C\) 相关。因此，下文在讨论能观性时，均假设零输入条件，用 \((A,C)\) 指代系统。

更加深刻的观察

考虑能观性定义的否命题：若系统存在两个不同的初始状态 \(\mathbf{x}_1(0)\) 和 \(\mathbf{x}_2(0)\) ，在时间段 \(t\in[t_0, t_f]\) 里，对于同样的控制输入 \(\mathbf{u}(t)\) ，具有同样的输出 \(\mathbf{y}(t)\) ，则系统不能观。

针对线性系统，“不能观”的定义与下面的表述是等价的：系统存在一个初始状态 \(\mathbf{x}_3(0) = \mathbf{x}_1(0)-\mathbf{x}_2(0) \neq 0\) ，在时间段 \(t\in[t_0, t_f]\) 里，输出 \(\mathbf{y}(t) = Ce^{At}\mathbf{x}(0) \equiv 0\) 。

对输出求任意阶导数，可以得到

\[\mathbf{y}^{(k)}(t) = CA^{k}e^{At}\mathbf{x}(0) \equiv 0 \ \ \ k = 1,2,\cdots\]

换言之，存在不为 0 的向量 \(\mathbf{x}\) 使得 \(CA^k\mathbf{x} = 0\) ，这其实就是下面的能观性矩阵判据。

能观性矩阵判据

系统 \((A,C)\) 能观的充要条件是矩阵 \(\begin{bmatrix}C\\ CA \\ \vdots\\ CA^{n-1}\end{bmatrix}\) 列满秩。

\[\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x}\ \ \ \ \ \ \ \mathbf{y} = C\mathbf{x} \tag{1-2}\]

该系统的输出为 \(\mathbf{y}(t) = Ce^{At}\mathbf{x}(0)\) 。 \(e^{At}\) 需要展开计算，即

\[\begin{aligned} e^{At} &= I + At + \frac{1}{2!}(At)^2 + \frac{1}{3!}(At)^3 + \cdots\\ &= \beta_0(t)I + \beta_1(t)A + \beta_2(t)A^2 + \cdots + \beta_{n-1}(t)A^{n-1} \end{aligned}\]

上式第二行基于 Hamilton-Cayley 定理的推论，其中 \(\beta_0(t), \beta_1(t), \cdots, \beta_{n-1}(t)\) 是线性无关的，因为 \(\beta_0(t)\) 的最低阶项是 1， \(\beta_1(t)\) 的最低阶项是 \(t\) ， \(\beta_2(t)\) 的最低阶项是 \(\frac{1}{2!}t^2\) …… 从而，可以改写系统输出：

\[\begin{aligned} \mathbf{y}(t) &= \beta_0(t)C\mathbf{x}(0) + \beta_1(t)CA\mathbf{x}(0)+\cdots+\beta_{n-1}(t)CA^{n-1}\mathbf{x}(0)\\ &= \begin{bmatrix}\beta_0(t)I & \beta_1(t)I & \cdots & \beta_{n-1}(t)I\end{bmatrix}\begin{bmatrix}C\\ CA \\ \vdots\\ CA^{n-1}\end{bmatrix}\mathbf{x}(0) \end{aligned} \tag{1-3}\]

已知（1-3）式，判别系统的能观性。这相当于已知 \(y = Mx\) 以及 \(y, M\) ，求 \(x\) 。易知，\(x\) 有唯一解的充分必要条件是矩阵 \(M\) 列满秩。证明如下。

首先，系统状态 \(x\) 必然存在，否则没有输出 \(y\) 可言。因此，只需证明解的唯一性的充要条件是矩阵 \(M\) 列满秩。

充分性：（列满秩 -> 唯一解） 假设矩阵 \(M\) 列满秩时，有两个不同解 \(x_1, x_2\) ，则有 \(M(x_1-x_2) = 0\) 。因为矩阵 \(M\) 列满秩，所以 \(x_1-x_2 = 0\) ，这与假设矛盾，所以只有唯一解。

必要性：（唯一解 -> 列满秩） 假设方程有唯一解 \(x_1\) 时，矩阵 \(M\) 不是列满秩的。那么必然有一个非零 \(x_2\) 满足 \(Mx_2 = 0\) ，从而有 \(y = Mx_1 = M(x_1-x_2)\) ，此处 \(x_1-x_2 \neq x_1\) ，这与假设矛盾，所以矩阵 \(M\) 必须是列满秩的。

根据上述定理，要证明系统（A,C）能观，即证明（1-3）中的系数矩阵列满秩。

因为 \(\beta_0(t), \beta_1(t), \cdots, \beta_{n-1}(t)\) 是线性无关的，所以 \(\begin{bmatrix}\beta_0(t)I & \beta_1(t)I & \cdots & \beta_{n-1}(t)I\end{bmatrix}\) 列满秩。

问题转化为已知矩阵 \(H\) 列满秩，问矩阵 \(F\) 满足什么条件时，矩阵 \(HF\) 列满秩。易知，当矩阵 \(H\) 列满秩时，矩阵 \(HF\) 列满秩的充要条件是矩阵 \(F\) 列满秩。证明如下。

充分性： 假设矩阵 \(F\) 列满秩时，矩阵 \(HF\) 不是列满秩的。则存在一个不为零的系数向量 \(c\) 使得 \(HFc = H(Fc) = 0\) ，由于矩阵 \(H\) 列满秩，因此 \(Fc = 0\) ，这与假设矛盾，所以矩阵 \(HF\) 必然是列满秩的。

必要性： 假设矩阵 \(HF\) 列满秩时，矩阵 \(F\) 不是列满秩的。则存在一个不为零的系数向量 \(c\) 使得 \(Fc = 0\) ，那么 \(HFc = 0\) ，这与假设矛盾，所以矩阵 \(F\) 必然是列满秩的。

综上所述，系统 \((A,C)\) 能观的充要条件是矩阵 \(\begin{bmatrix}C\\ CA \\ \vdots\\ CA^{n-1}\end{bmatrix}\) 列满秩。

能观性秩判据

PBH 秩判据

线性定常连续系统（1-1）或者其能观性的等价系统（1-2）能观的充分必要条件是，对系统矩阵 \(A\) 的所有特征值 \(\lambda_i\)，有

\[rank\begin{bmatrix}\lambda_i I-A\\C\end{bmatrix} = n,\ \ i=1,2,\cdots,n\]

或者等价地表示为

\[rank\begin{bmatrix}sI-A\\C\end{bmatrix} = n, \forall s \in \text{复数域 S}\]

由于矩阵 \(A,C\) 都是 \(n\) 列的，所以定理中的 \(rank = n\) 等同于列满秩。
当 \(s\) 不是 \(A\) 的特征值时，\((sI-A)\alpha \neq 0, \forall \alpha \neq 0\) ， \(sI-A\) 必定是列满秩的，所以两种表示等价。

该定理证明如下。

充分性：（列满秩 -> 能观） 假设 \(\begin{bmatrix}\lambda_i I-A\\C\end{bmatrix}\) 列满秩时，系统（A,C）不能观。此时，矩阵 \(\begin{bmatrix}C\\ CA \\ \vdots\\ CA^{n-1}\end{bmatrix}\) 不是列满秩的。也就是说，存在不为零的 n 维向量 \(\alpha\) ，满足 \(\begin{bmatrix}C\\ CA \\ \vdots\\ CA^{n-1}\end{bmatrix} \alpha = 0\) ，即

\[C\alpha = 0, \ CA\alpha = 0, \ \cdots ,\ CA^{n-1}\alpha = 0\]

如果我们能说明，有一个 \(\alpha\) 是 \(A\) 的一个特征向量，就有 \(\begin{bmatrix}\lambda_i I-A\\C\end{bmatrix} \alpha = 0\) ，进而有 \(\begin{bmatrix}\lambda_i I-A\\C\end{bmatrix}\) 不是列满秩的，与假设矛盾。所以系统（A,C）必然能观。

现在，我们说明必然有一个 \(\alpha\) 是 \(A\) 的一个特征向量。首先，倘若 \(C = 0\) ，那么 \(\begin{bmatrix}\lambda_i I-A\\C\end{bmatrix}\) 不是列满秩的，与假设矛盾。在 \(C \neq 0\) 时，所有 \(\alpha\) 组成了一个 \(A\) 的不变子空间。这个不变子空间里必然存在一个 \(A\) 的特征向量。

TODO：黑体的这一步似乎有问题，凭我当前的知识无法给出严谨证明。

必要性：（能观 -> 列满秩） 假设系统（A,C）能观时， \(\begin{bmatrix}\lambda_i I-A\\C\end{bmatrix}\) 列不满秩。此时，存在一个 \(v \in \mathbb{C}^n, v\neq \mathbf{0}\) ，满足 \((\lambda_iI-A)v = Cv = 0\) 。可知 \(v\) 为矩阵 \(A\) 的特征向量。设系统（A,C）的状态初值 \(\mathbf{x}(0) = v\) ，则系统状态 \(\mathbf{x}(t) = e^{At}v = e^{\lambda t}v\) （这是因为 \(e^{At}\) 展开之后， \(A^kv = \lambda^kv\) ），系统输出 \(\mathbf{y}(t) = C\mathbf{x}(t) = e^{\lambda t}Cv = 0\) 。此时，我们无法由系统输出求解系统状态，系统（A,C）不能观。这与假设矛盾，因此 \(\begin{bmatrix}\lambda_i I-A\\C\end{bmatrix}\) 列满秩。

PBH 秩向量判据

线性定常连续系统（1-1）或者其能观性的等价系统（1-2）能观的充分必要条件是，对 \(A\) 的任意一个特征值 \(\lambda_i, i=1,2,\cdots,n\) ，只有特征向量 \(\alpha \equiv 0\) 能同时满足

\[A\alpha = \lambda_i\alpha \ \ \ \ \ \ C\alpha = 0\]

这与PBH秩判据是等价的。