Lyapunov 稳定性
0 参考资料
浙江大学控制科学与工程学院《现代控制理论》专业课 PPT（赵豫红老师）。
1 背景
1.1 自治系统
考虑一个系统，有n个独立的状态，组成一个状态变量 \(\mathbf{x}_n\)，即
不妨认为，系统状态都是关于时间t的函数，则有
如果，系统的状态空间方程可以表示为
那么，我们就称该系统为自治系统。这意味着系统不受任何外部输入的影响而变化。
Note
这里的 \(\mathbf{f}(\cdot)\) 是一个定义在n维空间的向量函数，它可以表示为
其中，\(f_1, f_2, ... ,f_n\) 都是定义在n维空间的标量函数。
举个例子， \(\mathbf{f}(\mathbf{x}_2) = \begin{bmatrix}\sin(x_2) & x_1^2\end{bmatrix}^T\) , 那么 \(f_1(\mathbf{x}_2) = \sin(x_2)\) ， \(f_2(\mathbf{x}_2)=x_1^2\) .
1.2 平衡状态/平衡点
如果存在一个状态 \(\mathbf{x} = \mathbf{x}_e\)，满足 \(\mathbf{f}(\mathbf{x_e}) = 0\)，则称该状态为 平衡状态/平衡点。
1.2.1 线性定常系统的平衡点
考虑我们熟知的线性定常状态空间模型 \(\dot{x} = Ax + Bu\)，当输入u为0时，该系统就是一个自治系统
这个系统的平衡点是 Ax = 0 这一方程的解。
而根据我们的线性代数知识，我们很容易知道，若 A 可逆，则方程只有唯一解 x = 0；若A不可逆，则方程有无穷多解。通常，我们会将一个不可逆的方阵称为 奇异的(Singular).
2 Lyapunov 稳定性定义
首先，用 2-范数 定义自治系统关于平衡状态的邻域
严格定义系统平衡点的 Lyapunov 稳定性：
说人话就是，在系统的n维状态空间里，以平衡点为球心画个任意大小的球，我都能在其中找到一个更小的球体范围。无论系统状态从新球体中哪一点开始演变，我都能保证系统状态不会超出老球体的范围。
Note
该定义与 \(\forall \delta > 0, \exists \varepsilon > 0, \forall \mathbf{x}(0) \in S(\mathbf{x}_e,\delta), \forall t\in [0,\infty), \mathbf{x}(t)\in S(\mathbf{x}_e, \varepsilon)\) 是不等价的。
事实上，Lyapunov 稳定性的定义只规定了系统状态初值在离平衡点无限近的一个邻域内时，系统状态无限趋近于稳定。而这个新定义则要求系统状态初值在平衡点的任意大邻域内时，系统状态都不发散到无穷。
2.1 渐近稳定性
考虑一个 Lyapunov 稳定的平衡点 \(x_e\)，如果系统状态从邻域 \(S(x_e, \delta)\) 内任意一点开始演变，最后都能收敛到 \(x_e\)，那么称 \(x_e\) 是渐近稳定的。把邻域 \(S(x_e, \delta)\) 称为 \(x_e\) 的吸引域。
如果这个自治系统不管初始状态是什么，最后状态都能收敛到 \(x_e\)，那么称 \(x_e\) 是大范围渐近稳定的。
平衡点 \(x_e\) 在 Lyapunov 意义下不稳定的严格表述如下
3 如何使用 Lyapunov 稳定
3.1 线性定常系统 Lyapunov 稳定的条件
对于单变量线性定常系统 \(\dot{x} = Ax, x(0)=x_0, t\ge 0\)，有以下定理
Quote
该系统所有的平衡状态都 Lyapunov 稳定的充要条件是 A的所有特征值都具有非正实部。
对于多变量线性定常系统 \(\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x}, \ \mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0, \ t\ge 0\)，有以下定理：
Quote
系统的每一平衡状态在 Lyapunov 意义下稳定的充要条件是，\(A\) 的所有特征值实部都 \(\le 0\)，且实部为 0 的特征值为 \(A\) 的最小多项式的单根。
方阵的最小多项式
方阵的最小多项式：给定一个方阵 A，设其特征方程为 \((\lambda-\lambda_1)^{a_1}(\lambda-\lambda_2)^{a_2}(\cdots)(\lambda-\lambda_s)^{a_s} = 0\) ，那么 A 的一个零化多项式就是 \((A-\lambda_1 I)^{a_1}(A - \lambda_2 I)^{a_2}(\cdots)(A-\lambda_s I)^{a_s}\)，A 的最小多项式就是包含因式 \((A-\lambda_1 I)(A-\lambda_2 I)(\cdots)(A-\lambda_s I)\) 的次数最小的零化多项式。
Example
举个例子，\(A = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2\end{bmatrix}\)，其特征值分别为 1，2，3， \((A-I)(A-2I)(A-3I) = \begin{bmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0 & 0 & 0& 4 & 0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{bmatrix} \neq \mathbf{0}\)，同时 \((A-I)^2(A-2I)(A-3I)\neq \mathbf{0},(A-I)(A-2I)^2(A-3I)\neq \mathbf{0}\)，而 \((A-I)(A-2I)(A-3I)^2 = \mathbf{0}\) ，所以 \(A\) 的最小多项式就是 \((A-I)(A-2I)(A-3I)^2\)
3.2 Lyapunov 第一法
基本思路：对于一个非线性系统，将它在平衡点位置做线性化，然后按照线性系统的方式来判断其Lyapunov稳定性。
考虑一个非线性自治系统
在 \(\mathbf{x} = \mathbf{x}_e\) 位置有一个平衡点，那么我们可以在平衡点位置对其做泰勒展开，得到
这里的 \(\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{x}^T}\) 本质上是一个 \(n\times 1\) 的向量关于一个 \(n\times 1\) 的向量求导，结果是
我们忽略掉高阶项 \(O(\mathbf{x})\)，再做变量代换 \(\mathbf{z} = \mathbf{x} - \mathbf{x}_e\)，即把原来的非线性系统，在平衡点附近化为了如下的线性系统形式
第一法将线性系统的稳定性判据推广到非线性系统，有以下结论：
- 若线性化后的系数矩阵 \(A_n\) 特征值实部全小于 0，则非线性自治系统在 \(\mathbf{x}_e\) 处渐近稳定，高阶导数项无影响。
- 线性化系统的系数矩阵 \(A_n\) 只要有一个特征值实部大于 0，则非线性自治系统在 \(\mathbf{x}_e\) 处不稳定，高阶导数项无影响。
- 若线性化系统的系数矩阵 \(A_n\) 存在一个特征值实部为 0，其余特征值实部均小于等于 0，则无法用 \(A_n\) 判断非线性自治系统在 \(\mathbf{x}_e\) 处的稳定性，与高阶导数项相关。
3.3 Lyapunov 第二法
由于任意一个平衡点都可以通过坐标变换移动到原点，所以我们接下来只考虑平衡点在原点的情况。
用能量的观点分析系统的稳定性：如果系统有一个渐近稳定的平衡点，则当其运动到平衡点的吸引域内时，系统存储能量会逐步衰减至极小值。举个例子，地面上一个半球形的大坑，有小球在坑周边的平地上运动。坑底就是一个小球系统的平衡点。当小球运动到坑的坡面上时，就相当于进入了坑底平衡点的吸引域。当小球逐步滚落到坑底时，小球系统的重力势能逐步衰减。
Lyapunov 构造了一个虚拟的“能量函数” \(V(x)\) ，称之为 Lyapunov 函数，用来衡量系统的“能量”，判别平衡点的稳定性。
对于 n 维向量 \(\mathbf{x}\) ，\(V(\mathbf{x})\) 是一个正定的标量函数。那么 \(V(\mathbf{x}) = C\) ，\(C\) 为正常数，就描述了 n 维状态空间的一个封闭的超曲面。随着 \(\left\|\mathbf{x}\right\|\to \infty\) ，\(C \to \infty\) ，该超曲面即扩展为整个状态空间。如果 \(C_1 < C_2\) ，则超曲面 1 完全在超曲面 2 内部。
沿用上文“大坑”的例子，这个 \(V(\mathbf{x}) = C\) 可以形象地理解成等高线。
有几何意义： \(V(\mathbf{x})\) 代表状态 \(\mathbf{x}\) 到状态空间原点（平衡点）的距离。
3.3.1 定理 1
定理：考虑一个非线性系统 \(\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{f}(\mathbf{x}(t))\) ，设其平衡状态在原点，即 \(\mathbf{f}(\mathbf{0}) = \mathbf{0}\) ，对所有 \(t \ge t_0\) ，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数 \(V(\mathbf{x},t)\) ，满足 \(V(\mathbf{x}, t)\) 正定，\(\dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}(\mathbf{x}, t)\) 负定，则原点处的平衡点是渐近稳定的。
进一步地，倘若 \(\left\| \mathbf{x} \right\| \to \infty\) 时， \(V(\mathbf{x},t) \to \infty\) ，则原点处的平衡点是大范围渐近稳定的。
Thinking
这里构造一个正定的 \(V(\mathbf{x},t)\) ，其实是定义了一种系统的能量；要求其一阶偏导数负定，要求系统的能量随着时间流逝一直减小，这其实是一个相当严苛的要求。
我感到惊奇的一点是，只需要找到一种能量满足以上条件，就足以说明系统在平衡点处的稳定性。
仍然举“大坑”的例子，我们假设大坑坡面上有神奇的阻力，能保证小球落到大坑底部时，速度恰好减小至 0 ，并且我们取重力势能的零势能面为大坑底部，这样小球系统的重力势能就是一个正定的标量函数，其导数是负定的。
\(\left\| \mathbf{x} \right\| \to \infty\) 时， \(V(\mathbf{x},t) \to \infty\) 怎么理解呢？其实就是说这个大坑是无穷大的，“大坑上四周的平地”是不存在的。于是，不管小球初始点在哪里，它都在大坑之中，最终都会滚落到大坑底部。所以大坑底部这个平衡点是大范围渐近稳定的。
说明：
- Lyapunov 函数不是唯一的
- 对于渐近稳定的平衡状态，Lyapunov 函数必定存在
- 用 Lyapunov 第二法证明了系统在某个稳定域内渐近稳定，不代表稳定域外该系统就不稳定了；对于线性系统，如果有渐近稳定的平衡状态，那它必然是大范围渐近稳定的。
3.3.2 定理 2
定理：（克拉索夫斯基，巴巴辛）考虑一个非线性系统 \(\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{f}(\mathbf{x}(t))\) ，设其平衡状态在原点，即 \(\mathbf{f}(\mathbf{0}) = \mathbf{0}\) ，对所有 \(t \ge t_0\) ，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数 \(V(\mathbf{x},t)\) ，满足 \(V(\mathbf{x}, t)\) 正定，\(\dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}(\mathbf{x}, t)\) 半负定； \(\dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}(\Phi(t;x_0,t_0),t)\) 对于任意 \(t_0\) 和任意 \(x_0 \neq 0\) ，在 \(t \ge t_0\) 时，不恒等于 0 ；当 \(\left\|\mathbf{x}\right\| \to \infty\) 时， \(V(\mathbf{x}) \to \infty\) ；则原点处的平衡点是大范围渐近稳定的。
其中的 \(\Phi(t;x_0,t_0)\) 表示一条从 \((x_0, t_0)\) 出发的特定轨迹。
Thinking
这个定理其实挺直观的。它放宽了对于 \(\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}(\mathbf{x},t)\) 的限制，只要求半负定即可，相当于大坑的坡面上有一些位置可以供小球歇脚。但显然小球不能一直歇下去，所以该定理又打了个补丁，要求任意时刻，从坡面上的任意一点出发，小球都不能一直停在坡面某个位置上不往下落。有了这个补丁，大范围渐近稳定的结论还是挺 trival 的。
3.3.3 定理 3
定理：（李雅普诺夫）考虑一个非线性系统 \(\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{f}(\mathbf{x}(t))\) ，设其平衡状态在原点，即 \(\mathbf{f}(\mathbf{0}) = \mathbf{0}\) ，对所有 \(t \ge t_0\) ，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数 \(V(\mathbf{x},t)\) ，满足 \(V(\mathbf{x}, t)\) 正定，\(\dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}(\mathbf{x}, t)\) 半负定； \(\dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}(\Phi(t;x_0,t_0),t)\) 对于任意 \(t_0\) 和任意 \(x_0 \neq 0\) ，在 \(t \ge t_0\) 时，恒等于 0 ，则系统在原点处的平衡状态是 Lyapunov 意义下稳定的。
Thinking
这个定理和 Lyapunov 稳定性本身一样很难形象地理解，可能是我目前的数学直觉还没到这个层次。
3.3.4 定理 4
（关于不稳定性）
定理：（李雅普诺夫）考虑一个非线性系统 \(\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{f}(\mathbf{x}(t))\) ，设其平衡状态在原点，即 \(\mathbf{f}(\mathbf{0}) = \mathbf{0}\) ，对所有 \(t \ge t_0\) ，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数 \(V(\mathbf{x},t)\) ，满足 \(V(\mathbf{x}, t)\) 在原点附近的某一邻域正定，\(\dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}(\mathbf{x}, t)\) 在同样的邻域内是正定的，则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
要求放宽一点，若 \(\dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}(\mathbf{x},t)\) 半正定，只要 \(\mathbf{x} \neq \mathbf{0}\) 时， \(\dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}(\mathbf{x},t)\) 不恒为零，则系统在原点处的平衡状态依然是不稳定的。
4 线性系统
线性系统是非线性系统的一种特殊形式，自然可以用 Lyapunov 第二法进行稳定性分析。
考虑线性自治系统 \(\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x}\) ，这里的 \(A\) 是一个非奇异矩阵，所以该系统的平衡状态是唯一的： \(\mathbf{x}_e = 0\) . 我们利用 Lyapunov 第二法分析该平衡状态的稳定性。
设 Lyapunov 函数 \(V(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T P \mathbf{x}\) ，则其对时间的一阶偏导数为：
根据 Lyapunov 第二法定理 1，如果我们能找到正定矩阵 \(P,Q\) 满足
则可说明该系统在原点平衡状态渐近稳定。式 (4-1) 被称为 Lyapunov 方程。
根据 Lyapunov 第二法定理 2，如果我们能找到正定矩阵 \(P\) 和半正定矩阵 \(Q\) ，并且保证沿系统任意一条不恒为零状态的轨迹， \(-\mathbf{x}^TQ\mathbf{x}\) 不恒为 0，同样可以判别系统的渐近稳定性。
线性定常系统 \(\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + B\mathbf{u}\) 内稳定，等价于对应自治系统 \(\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x}\) 在原点平衡状态渐近稳定。
【TODO】怎么证明？
需要说明的是，只要选择的矩阵 \(Q\) 是（半）正定的，则最终判定结果与 \(Q\) 的具体选择无关。
实际应用中一般采取如下方法：取 \(Q = I\) （如果能证明沿系统任意一条不恒为零状态的轨迹， \(-\mathbf{x}^TQ\mathbf{x}\) 不恒为 0，也可以把 \(Q\) 的对角线上挖几个 0 ——半正定），利用 Lyapunov 方程计算 \(P\) ，判别 \(P\) 的正定性，若正定，则系统渐近稳定。
4.1 连续系统
线性定常连续系统 \(\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x}+B\mathbf{u}\) 渐近稳定的充要条件是：给定任意正定实对称矩阵 \(Q\) ，存在正定实对称矩阵 \(P\) ，满足 Lyapunov 方程：
若沿系统任意一条不恒为零状态的轨迹， \(-\mathbf{x}^TQ\mathbf{x}\) 都不恒等于 0，则可将 \(Q\) 的要求放宽至半正定矩阵。
这里，标量函数 \(V(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^TP\mathbf{x}\) 是系统的一个 Lyapunov 函数。如果 \(P\) 不是正定的而是负定的，则系统不稳定； \(P\) 不定，则系统非渐近稳定。
与上一节的讨论相比，该定理对 \(P,Q\) 的对称性给出了要求，但我们不应认为这个要求是更高的，事实上，对称和不对称是等价的：
在二次型与(半)正负定性一文中我们指出， \(\mathbf{x}^TP\mathbf{x} = \mathbf{x}^T\dfrac{P+P^T}{2}\mathbf{x}\) ，因此我们可以用 \(\dfrac{P+P^T}{2}\) 这一正定实对称矩阵代替正定实矩阵 \(P\) ，而不影响上一节的推导过程。因此，可以认为 \(P\) 必然是一个实对称矩阵。从而， \(Q = -(A^TP+PA)\) 也是一个实对称矩阵。
4.2 离散系统
我们把上文的结论扩展到离散系统。
线性定常离散系统的状态方程为 \(\mathbf{x}(k+1) = G\mathbf{x}(k)\) 。我们取一个 Lyapunov 函数 \(V(\mathbf{x}(k)) = \mathbf{x}(k)^TP\mathbf{x}(k)\) ，我们同样利用 Lyapunov 第二法的定理 1 和 2 来说明系统的渐近稳定性：
首先，我们需要对 Lyapunov 函数求对时间的一阶偏导数，由于是离散系统，我们采用 \(\Delta V(\mathbf{x}) = V(\mathbf{x}(k+1))-V(\mathbf{x}(k))\) 的方式代替求导。
根据 Lyapunov 第二法定理 1 ，系统在平衡状态 \(\mathbf{x}_e = \mathbf{0}\) 的充要条件是 \(-Q\) 负定；根据 Lyapunov 第二法定理 2 ，如果能保证沿系统任意一条不恒为零状态的轨迹， \(\mathbf{x}(k)^TQ\mathbf{x}(k)\) 序列不恒为 0 ，则 \(-Q\) 可以放宽要求至半负定。
写成定理：
线性定常离散系统的状态方程为 \(\mathbf{x}(k+1) = G\mathbf{x}(k)\) ，系统在其平衡状态 \(\mathbf{x}_e = \mathbf{0}\) 渐近稳定的充要条件是，给定任意一个正定实对称矩阵 \(Q\) ，存在一个正定实对称矩阵 \(P\) ，满足 Lyapunov 方程
(\(G^TPG-P+Q=0\)\)
如果能保证沿系统任意一条不恒为零状态的轨迹， \(\mathbf{x}(k)^TQ\mathbf{x}(k)\) 序列不恒为 0 ，则 \(-Q\) 可以放宽要求至半负定。
5 非线性系统
克拉索夫斯基方法：
该方法本质是考虑二阶导数的情况。
我们考虑非线性系统 \(\dot{\mathbf{x}} = f(\mathbf{x})\) ，满足 \(f(\mathbf{0}) = \mathbf{0}\) 且 \(f(\mathbf{x})\) 对 \(x_i\) ， \(i=1,2,\cdots,n\) 可微。定义一个雅可比矩阵 \(F(\mathbf{x})\)
有 \(\ddot{\mathbf{x}} = \dot{f}(\mathbf{x}) = F(\mathbf{x})\dot{\mathbf{x}} = F(\mathbf{x})f(\mathbf{x})\) . 我们取 Lyapunov 函数为 \(V(\mathbf{x}) = f^T(\mathbf{x})f(\mathbf{x})\) ，并且构造一个 \(\hat{F}(\mathbf{x}) = F^T(\mathbf{x})+F(\mathbf{x})\) ，可以证明：如果 \(\forall \mathbf{x}\) ， \(\hat{F}(\mathbf{x})\) 是负定的，则平衡状态 \(\mathbf{x}_e = 0\) 是渐近稳定的（充分条件）。
首先，我们证明 \(V(\mathbf{x}) = f^T(\mathbf{x})f(\mathbf{x})\) 是正定的：
要证明 \(V(\mathbf{x}) = f^T(\mathbf{x})f(\mathbf{x})\) 正定，因为已知 \(f(\mathbf{0}) = \mathbf{0}\) ，所以只需要证明 \(\mathbf{x} \neq \mathbf{0}\) 时， \(f(\mathbf{x}) \neq \mathbf{0}\) ，也就是需要证明，非线性系统只有 \(\mathbf{x}_e = 0\) 这一个平衡点。
TODO 我证不出来。
接下来，我们证明 \(\dot{V}(\mathbf{x})\) 是负定的：
因为 \(\hat{F}(\mathbf{x})\) 是负定的，所以 \(\dot{V}(\mathbf{x})\) 是负定的。
Comment
这个定义很好理解，就是该状态下，系统所有状态关于时间的变化率都为0.
换言之，如果系统初始状态在平衡点，那么系统将始终保持在平衡点。
但是称其为“稳定点”是不妥当的，“稳定点”应当考虑抗扰性能。譬如 \(\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{x}\) 和 \(\dot{\mathbf{x}}=-\mathbf{x}\) 这两个系统，\(\mathbf{x}_e = 0\) 都是平衡点，但是前者稍加扰动就会失稳，而后者具有抵抗一定扰动的能力。我们可以将后者称为稳定点，而前者则不合适。可以说，平衡点是稳定点的必要不充分条件。