哈密顿-凯莱定理（Hamilton-Cayley theorem）
Hamilton-Cayley 定理指出，设 A 是数域 P 上的 n 阶矩阵， \(f(λ)=|λE-A|=λ^n+b_1λ^{n-1}+…+b_{n-1}λ+b_n\) 是A的特征多项式，则 \(f(A) = A^n + b_1A^{n-1}+...+b_{n-1}A+b_nI=0\) 。
证明
首先，设 \(B(\lambda)\) 是 \(\lambda I - A\) 的伴随矩阵。
伴随矩阵的概念：对于矩阵 \(A = (a_{ij})_{n\times n}\) ，其伴随矩阵 \(A^{*} = (A_{ij})_{n\times n}\) ，其中 \(A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\) ，\(M_{ij}\) 是矩阵 \(A\) 去除掉 \(i\) 行 \(j\) 列的行列式。
伴随矩阵满足 \(AA^{*} = |A|I\) 。
\(B(\lambda)\) 是一个 \(\lambda\) 矩阵，可以表示为 \(\lambda\) 的多项式。由于 \(B(\lambda)\) 是 \(\lambda I - A\) 的伴随矩阵，所以其元素中 \(\lambda\) 的最高阶次是 \(n-1\) 次，所以 \(B(\lambda) = \lambda^{n-1}B_0 + \lambda^{n-2}B_1 + \cdots + B_{n-1}\) 。
\(\lambda\) 矩阵指的是矩阵元素中包含变量 \(\lambda\) 的矩阵，例如
\[\begin{aligned}A(\lambda) &= \begin{bmatrix}\lambda^3 + \lambda^2 - 1 & \lambda^2-3\\ 2\lambda + 4 & 2\lambda^3+1\end{bmatrix}\\&=\lambda^3\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix} + \lambda^2\begin{bmatrix}1 & 1\\ 0 & 0\end{bmatrix} + \lambda\begin{bmatrix}0 & 0\\2 & 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-1 & -3\\4 & 1\end{bmatrix}\end{aligned}\]
从而有
设 \(\lambda I -A = \lambda^n + a_1\lambda^{n-1} + a_2\lambda^{n-2} + \cdots + a_{n-1}\lambda + a_n\) ，则有
比较一下（2-1）式和（2-2）式，我们有
依次用 \(A^n, A^{n-1}, \cdots, A, I\) 右乘（2-3）式，得到
（2-4）式左右两边分别全部上下求和，左边求和结果为 0 ，右边求和结果为 \(f(A)\) ，故 \(f(A) = 0\) 得证。
意义
该定理为我们提供这样一个推论：
矩阵 \(A^{k}, k\ge n\) 总可以用矩阵 \(A^{j}, j=1,2,\cdots,n-1\) 的线性组合表示。
在控制领域，我们经常遇到矩阵 \(e^{At}\) ，此时可如下使用该推论：