哈密顿-凯莱定理（Hamilton-Cayley theorem）

Hamilton-Cayley 定理

设 A 是数域 P 上的 n 阶矩阵， \(f(λ)=|λE-A|=λ^n+b_1λ^{n-1}+…+b_{n-1}λ+b_n\) 是A的特征多项式，则 \(f(A) = A^n + b_1A^{n-1}+...+b_{n-1}A+b_nI=0\) 。

证明

首先，设 \(B(\lambda)\) 是 \(\lambda I - A\) 的伴随矩阵。

伴随矩阵

对于矩阵 \(A = (a_{ij})_{n\times n}\) ，其伴随矩阵 \(A^{*} = (A_{ij})_{n\times n}\) ，其中 \(A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\) ，\(M_{ij}\) 是矩阵 \(A\) 去除掉 \(i\) 行 \(j\) 列的行列式。

伴随矩阵满足 \(AA^{*} = |A|I\) .

\(B(\lambda)\) 是一个 \(\lambda\) 矩阵，可以表示为 \(\lambda\) 的多项式。由于 \(B(\lambda)\) 是 \(\lambda I - A\) 的伴随矩阵，所以其元素中 \(\lambda\) 的最高阶次是 \(n-1\) 次，所以 \(B(\lambda) = \lambda^{n-1}B_0 + \lambda^{n-2}B_1 + \cdots + B_{n-1}\) 。

\(\lambda\) 矩阵

\(\lambda\) 矩阵指的是矩阵元素中包含变量 \(\lambda\) 的矩阵，例如

\[\begin{aligned}A(\lambda) &= \begin{bmatrix}\lambda^3 + \lambda^2 - 1 & \lambda^2-3\\ 2\lambda + 4 & 2\lambda^3+1\end{bmatrix}\\&=\lambda^3\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix} + \lambda^2\begin{bmatrix}1 & 1\\ 0 & 0\end{bmatrix} + \lambda\begin{bmatrix}0 & 0\\2 & 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-1 & -3\\4 & 1\end{bmatrix}\end{aligned}\]

从而有

\[\begin{aligned}B(\lambda)(\lambda I - A) &= \left(\lambda^{n-1}B_0 + \lambda^{n-2}B_1 + \cdots + B_{n-1}\right) (\lambda I -A)\\ &= \lambda^nB_0 + \lambda^{n-1}(B_1-B_0A) + \cdots + \lambda(B_{n-1}-B_{n-2}A)-B_{n-1}A \end{aligned} \tag{2-1}\]

设 \(\lambda I -A = \lambda^n + a_1\lambda^{n-1} + a_2\lambda^{n-2} + \cdots + a_{n-1}\lambda + a_n\) ，则有

\[\begin{aligned} B(\lambda)(\lambda I-A)&=(\lambda I-A)^{*}(\lambda I-A) \\ &= |\lambda I-A|I \\ &= \lambda^n I + a_1\lambda^{n-1} I + \cdots + a_{n-1}\lambda I + a_n \end{aligned}\tag{2-2}\]

比较一下（2-1）式和（2-2）式，我们有

\[\begin{cases}B_0 &= I\\ B_1-B_0A &= a_1I\\ &\vdots\\ B_{n-1}-B_{n-2}A &= a_{n-1}I\\ -B_{n-1}A &=a_nI \end{cases} \tag{2-3}\]

依次用 \(A^n, A^{n-1}, \cdots, A, I\) 右乘（2-3）式，得到

\[\begin{cases}B_0A^n &= A^n\\ B_1A^{n-1}-B_0A^n &= a_1A^{n-1}\\ &\vdots\\ B_{n-1}A-B_{n-2}A^2 &= a_{n-1}A\\ -B_{n-1}A &=a_nI \end{cases}\tag{2-4}\]

（2-4）式左右两边分别全部上下求和，左边求和结果为 0 ，右边求和结果为 \(f(A)\) ，故 \(f(A) = 0\) 得证。

意义

该定理为我们提供这样一个推论：

Theorem

矩阵 \(A^{k}, k \ge n\) 总可以用矩阵 \(A^{j}, j=0,1,2,\cdots,n-1\) 的线性组合表示。

在控制领域，我们经常遇到矩阵 \(e^{At}\) ，此时可如下使用该推论：

\[\begin{aligned}e^{At} &= I+At + \frac{1}{2!}(At)^2 + \frac{1}{3!}(At)^3 + \cdots\\ &= \beta_0(t)I + \beta_1(t)A + \beta_2(t)A^2 + \cdots \beta_{n-1}(t)A^{n-1} \end{aligned}\]