PID 控制器

原文见 https://zju-helloworld.github.io/Wiki/

转载存档，仅供个人学习所用，All Credits to ZJU-Hello World ZhouShichan .

标准 PID¶

PID（Proportional-Integral-Derivative）控制器是一种线性控制器，根据被控对象给定值 \(r(t)\) 和实际值 \(y(t)\) 的控制偏差

\[ e(t)=r(t)-y(t) \]

构成控制律

\[ u(t)=K_c[e(t)+{1 \over {T_i}}\int ^t_0e(t){\mathrm{d}}t+T_d{\frac{\mathrm de(t)}{\mathrm dt}}] \]

或以传递函数表示

\[ G(s)=\frac{U(s)}{E(s)}=K_c(1+\frac1{T_is}+T_ds) \]

其中积分分量能够提升系统的稳态性能；微分分量能够改善系统的动态性能。

在数字 PID 控制中，使用的是离散化的 PID 控制器。在模拟 PID 的理论基础上，以一系列采样时刻点 \(kT\) 代表连续时间 \(t\)，以矩形法数值积分近似代替积分，以一阶后向差分近似替代微分，可得离散 PID 表达式

\[ \begin{align} u(k)&=K_p[e(k)+\frac{1}{T_i}\sum^k_{j=0}e(j)T+T_d\frac{e(k)-e(k-1)}{T}]\\ &=K_pe(k)+K_i\sum^k_{j=0}e(j)T+K_d\frac{e(k)-e(k-1)}{T} \end{align} \]

在标准的数字 PID 控制器的基础上，还可以引入一系列优化算法，形成非标准控制算法，以改善系统品质，满足不同控制系统的需要。

PID 优化¶

积分项优化¶

无扰动操作（Bumpless Operation）¶

无扰动操作包括参数初始化过程和变参数的情况。考虑在控制器工作过程中改变积分增益参数，可能引起输出的较大变化，不利于控制。因此将积分项改进为积分增益与误差乘积的累积，而不是误差累积后再乘以积分增益。积分项表示为：

\[ u_i(k)=\sum^k_{j=0}K_ie(j)T \]

梯形积分（Trapezoidal Rule）¶

为尽量减小余差，提高积分项的运算精度，可将矩形积分改为梯形积分。积分项表示为：

\[ u_i(k)=\sum^k_{j=0}K_i{e(j)+e(j-1)\over 2}T \\ \]

抗积分饱和（Anti-windup）¶

积分饱和现象指若系统存在一个方向的偏差，控制器输出由于积分作用的不断累加而持续增大，若超出执行机构正常运行范围便进入了饱和区。一旦系统出现反向偏差，控制器输出逐渐从饱和区退出，进入饱和区越深则退出所需时间越长。在这段时间内，执行机构仍停留在极限位置，而不能随偏差反向立即做出相应的改变，此时将造成控制性能恶化。抗积分饱和法在计算控制器输出 \(u(k)\) 时，首先判断上一时刻 \(u(k-1)\) 是否已超出限制范围：若 \(u(k-1) > \epsilon_u\)，只累加负偏差；若 \(u(k-1) < \epsilon_l\)，只累加正偏差。积分项表示为：

\[ \begin{align} u_i(k)=\sum^{k-1}_{j=0}K_ie(j)T+\alpha K_i e(k)T\\ 其中\ \alpha= \begin{cases} 0, &u(k-1)\cdot e(k)>0\ ,u(k-1) \notin [\epsilon_l,\epsilon_u]\\ 1, &else \end{cases} \end{align} \]

其中阈值区间 \([\epsilon_l,\epsilon_u]\) 根据实际情况人为指定。

积分分离（Integration Separation）¶

积分环节的作用主要为消除静差，提高控制精度。但在短时间系统输出产生较大偏差时，可能会造成积分过度积累，使控制量过大，引起系统超调甚至振荡。此时需要引入积分分离，当被控量与给定值偏差较大时，取消积分作用；接近时引入积分控制。积分项表示为：

\[ \begin{align} u_i(k)=\beta \sum^k_{j=t_0}K_ie(j)T \\ 其中\ \beta= \begin{cases} 1, & e(k) \in [\epsilon_l,\epsilon_u] \\ 0, & else \end{cases} \end{align} \]

其中 \(t_0\) 表示引入积分控制的时刻，阈值区间 \([\epsilon_l,\epsilon_u]\) 根据实际情况人为指定。

变速积分（Changing Rate）¶

基于积分分离优化的思想，根据系统偏差大小改变积分的速度，偏差越大，积分越慢，反之则越快，形成连续的变化过程。为此，设置系数 \(f[e(k)]\)，当 \(|e(k)|\) 增大时，\(f\) 减小，反之增大，其值在 \([0,1]\) 变化。积分项表示为：

\[ u_i(k)=\sum^{k-1}_{j=0}K_ie(j)T+f[e(k)]\cdot K_i e(k)T\\ \]

系数 \(f\) 与当前偏差 \(e(k)\) 的关系可以是线性的，可设为

\[ f[e(k)]= \begin{cases} 1, &|e(k)| {\leqslant} \epsilon_l\\ \frac{\epsilon_u - |e(k)| }{\epsilon_u-\epsilon_l},& \epsilon_l< |e(k)|{\leqslant} \epsilon_u\\ 0, &|e(k)| >\epsilon_u \end{cases} \]

其中阈值 \(0 \le \epsilon_l < \epsilon_u\) 根据实际情况人为指定。

微分项优化¶

只对输出微分（Derivative of the process variable）¶

为避免由于给定值频繁升降（尤其是阶跃）而引起的系统振荡，可采用只对输出微分的优化算法，其特点是只对系统输出进行微分。这样，在改变给定值时，微分项输出仅与被控量的变化相关，而这种变化通常是比较缓和的，从而能够明显改善系统的动态特性。此方案也称为 “微分先行” 。

简单的离散形式优化的微分项表示为：

\[ u_d(k)=K_d\frac{y(k)-y(k-1)}{T_i}\\ \]

也可以通过权重值将误差微分和输出微分结合起来：

\[ u_d(k)=K_d\frac{ (1-w_0) \cdot (e(k)-e(k-1)) + w_0 \cdot (y(k)-y(k-1))}{T_i}\\ \]

其中 \(w_0 \in [0,1]\)。

微分滤波（Derivative Filter）¶

微分项可改善系统的动态特性，但也易引进高频干扰，在误差扰动突变时尤其显出微分项的不足。因此，可以在控制算法中加入一阶惯性环节（低通滤波器），可使系统性能得到改善。可将滤波器直接加在微分环节上或控制器输出上。此方案也称为“不完全微分”。

事实上，还可以针对系统的频域特性设计合适的滤波器，这里不做更深入的探究。

对微分环节输出进行一阶滤波，微分项表示为：

\[ u_d(k)= \begin{cases} (1-w_0)\cdot u_d(k) +w_0 \cdot u_d(k-1),& u_d(k-1) \notin [\epsilon_l,\epsilon_u] \\ u_d(k), & others \end{cases} \]

其中系数 \(w_0\in [0,1]\) 和阈值区间 \([\epsilon_l,\epsilon_u]\) 根据实际情况人为指定。

其他优化¶

时间间隔自动采样（Automatic Time Interval Sampling）¶

理论上离散 PID 的采样时间间隔是一致的，但实际应用中，由于资源有限或任务过重，PID 每次计算之间的时间间隔可能不是一致的。因此，在调用 PID 进行计算时，将自动获取和记录计算时刻，来计算每次的采样间隔 \(T_i\) ，并用于积分项计算和微分项计算。

角度最小差值（Period-Sub）¶

由于角度是周期性的，所以从角度 \(A\) 到角度 \(B\) 可以有两种路径，两种路径往往一长一短，其中较短路径是令人感兴趣的。由于角度分弧度值和角度值以及其周期性的特性，这种最短路径特性可以扩大到任意周期上。因此，周期性由圆来代表。周期的大小用圆上刻度来表示，当周期大小为0，即圆上没有刻度时，采用直接相减的方式。

对于角度的控制，需要考虑是否选择最短的变换路径。在 PID 的计算过程中，这一点可以通过更改误差值 \(e(j)\) 的计算方式来实现：

\[ e(k) = \begin{cases} r(k)-y(k) & \text{ if } period=0 \\ (r(k)-y(k)) \mod{period} & \text{ if } period \ne 0 \end{cases} \]

带死区（Dead Band）¶

为避免控制作用过于频繁，消除由于频繁动作所引起的振荡，必要时可采用带死区的 PID 控制算法，即判断控制偏差是否小于给定阈值，若小于则不输出。当阈值过大时，在阈值点的输出会从 0 突变，对输出造成干扰。更一般的，给定阈值区间 \([\epsilon_l,\epsilon_u]\)，当控制偏差在阈值区间之外时，正常输出；当控制偏差在 \([\epsilon_l+ \delta, \epsilon_u -\delta)\) 时，输出为 \(({\epsilon_l+\epsilon_u})/{2}\)；当控制偏差在 \([\epsilon_l,\epsilon_l+ \delta) \cup [\epsilon_u -\delta, \epsilon_u]\) 时，进行插值处理。控制器输出表示如下：

\[ u(k)= \begin{cases} u(k), & \epsilon_u<=e(k)\\ \frac{\epsilon_l+\epsilon_u}{2} +\frac{u(k)- \epsilon_u +\delta }{\delta}\frac{\epsilon_u-\epsilon_l}{2},& \epsilon_u-\delta \le e(k)<\epsilon_u \\ ({\epsilon_l+\epsilon_u})/{2} ,& \epsilon_l+ \delta \le e(k) < \epsilon_u -\delta\\ \frac{\epsilon_l+\epsilon_u}{2} +\frac{u(k) - \epsilon_l -\delta }{\delta}\frac{\epsilon_u-\epsilon_l}{2} , & \epsilon_l \le e(k) < \epsilon_l + \delta\\ u(k), & e(k) < \epsilon_l \end{cases} \]

其中阈值区间 \([\epsilon_l, \epsilon_u]\) 根据实际情况人为指定，\(\delta=(\epsilon_u-\epsilon_l)/10\)。

给定值平滑（Setpoint Ramping）¶

当给定值出现较大的阶跃变化，很容易引起超调。使用线性斜坡函数或一阶滤波为给定值安排过渡过程，使其从其旧值逐渐变化到新值，以避免阶跃变化产生的不连续性，进而使对象运行平稳，适用于高精度伺服系统的位置跟踪。

实际应用中，一般给出最大阶跃范围。若超出该范围，对给定值进行一阶滤波处理。给定值表示如下：

\[ r(k)= \begin{cases} r(k), &|e(k)| {\leqslant} \epsilon_2\\ w_1\cdot r(k)+(1-w_1)r(k-1), &|e(k)| {>} \epsilon_2 \end{cases} \]

其中阈值 \(\epsilon_2\) 及系数 \(w_1\in (0,1]\) 根据实际情况人为指定。

前馈校正（Feed-forward）¶

在前馈控制（开环）中考虑系统的已知信息，再将输出加到 PID 控制器（闭环）的控制输出，形成复合校正，能够进一步提升整体的系统性能。前馈校正通路由于不受反馈的影响，不会造成系统的振荡，从而能够在不影响稳定性的情况下改善系统的响应。前馈量通常可以单独提供控制器输出的主要部分；PID 控制器则用来补偿给定值和实际值之间的误差。

前馈量依可量测扰动或给定量来产生，构成按扰动补偿和按输入补偿两种复合控制形式。

我们重点关注按输入补偿的复合控制系统设计。由上图 (b) ，系统输出为

\[ C(s)=\frac{[G_1(s)+G_n(s)]G_2(s)}{1+G_1(s)G_2(s)}R(s) \]

如果选择前馈补偿装置传函 \(G_n(s)=\frac1{G_2(s)}\)，则有

\[ C(s)=R(s) \]

使得系统输出复现输入，具有理想的时间响应特性。实际这种全补偿难以实现，因此一般采用部分补偿，常用的方法有取输入信号的一阶导数作为前馈补偿信号，即：

\[ G_n(s)=\lambda_1s \]

实际中由于控制器工作频率可能高于给定信号频率，此时若采用后向差分则不能获得平滑的前馈量。可以考虑采用跟踪微分器。