卷积¶
起源¶
从线性时不变（LTI）系统的物理意义出发，假设系统的单位冲激响应（impulse response）为 \(h(t)\) 。当系统在时间 \(t=\tau\) 受到一个幅值为 \(x(\tau)\) 的冲激时，该冲激在输出上产生的响应是 \(x(\tau)h(t-\tau)\) （把原来的单位冲激响应幅值乘以 \(x(\tau)\) ，并向右平移 \(\tau\) ）。
系统对任意输入 \(x(t)\) 的总输出就是把每个时刻 \(\tau\) 的冲激响应 \(x(\tau)h(t-\tau)\) 加起来（积分）：
\[y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)h(t-\tau)\mathrm{d}\tau\]
离散化¶
我们考虑把输入的连续信号采样成离散信号：
\[x^{*}(t) = x(t)\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(t-kT_s)\]
然后把采样所得离散信号输入系统，系统的响应会变成：
\[\begin{aligned}
y^{*}(t) &= \int_{-\infty}^{+\infty}x^{*}(t)h(t-\tau)\mathrm{d}\tau\\
&= \int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\tau-kT_s)h(t-\tau)\mathrm{d}\tau\\
&= \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x(\tau)\int_{-\infty}^{+\infty}h(t-kT_s)\mathrm{d}\tau\\
&= \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x(t)\int_{-\infty}^{+\infty}h(kT_s-\tau)\mathrm{d}\tau
\end{aligned}\]