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操作臂运动学

参考书目

《机器人学导论》[美] John J. Craig

1 MDH（Modifed-DH）

Craig这本书所采用的机械臂坐标系构造方法是所谓的 Modified-DH，即改进 DH 方法。与 Spong 书中介绍的传统 DH 方法相比，

共同点：

  • 连杆都是从 0 开始编号，关节都是从 1 开始编号，关节 \(i\) 连着连杆 \(i-1\) 和连杆 \(i\)

不同点：

  • DH 方法把 \(z_i\) 轴建立在第 \(i+1\) 个关节的驱动轴上，也就是建立在了连杆 i 的尾部，而 MDH 方法把 \(z_i\) 轴建立在第 \(i\) 个关节的驱动轴上，也就是建立在了连杆 i 的首部。

MDH 方法的优势在于可以处理并联机械臂问题。

值得记忆的内容：

  • \(a_i=\) 沿 \(x_i\) 轴，从 \(z_i\) 移动到 \(z_{i+1}\) 的距离
  • \(\alpha_i=\) 绕 \(x_i\) 轴，从 \(z_i\) 旋转到 \(z_{i+1}\) 的角度
  • \(d_i=\) 沿 \(z_i\) 轴，从 \(x_{i-1}\) 移动到 \(x_{i}\) 的距离
  • \(\theta_i=\) 绕 \(z_i\) 轴，从 \(x_{i-1}\) 旋转到 \(x_{i}\) 的角度

运动学参量：连杆长度 \(a_{i-1}\)、连杆转角 \(\alpha_{i-1}\)、连杆偏距 \(d_{i}\) 和关节角 \(\theta_i\) 都称为关节 i 的运动学参量。

2 连杆变换阵 \((_{i}^{i-1}T)\)

这一部分主要解决一个问题，就是已知DH参数的情况下，如何得到齐次变换矩阵。

简单想想就知道，我们这个齐次变换矩阵的作用是把固连在连杆 \(i\) 头部上的坐标系 {\(i\)} 变换到固连在连杆 {\(i-1\)} 头部上的坐标系 {\(i-1\)} 上。

事实上，除了 \(i=0\) 的情况，我们也可以认为坐标系 {\(i\)} 是建立在关节 \(i\) 上的。

对于任何一个关节 \(i\)，我们现在有四个参数，两个参数（\(a_{i-1}, \alpha_{i-1}\)）描述的是关于 \(x_{i-1}\) 轴的平移和转动，两个参数（\(d_i, \theta_i\)）描述的是关于 \(z_i\) 轴的平移和转动。

通过这四个参数，我们可以得到关节 \(i\) 上的坐标系和关节 \(i-1\) 上的坐标系的变换关系：

\[_{i}^{i-1}T = R_{X}(\alpha_{i-1})D_{X}(a_{i-1})R_{Z}(\theta_i)D_{Z}(d_i)\]

其中，\(R\) 和 \(D\) 分别是仅转动和仅平移的齐次变换矩阵的简单表示。

注意到，绕着同一个轴的转动和平移的齐次变换矩阵，其矩阵相乘满足交换律。因此可以交换上式中前两项内部的顺序和后两项内部的顺序。

但是前后两项，也即先关于 \(x\) 轴运动，再关于 \(z\) 轴运动的顺序是不能改变的。

直观理解：你得先把 {\(i-1\)} 坐标系原点移动到 {\(i\)} 坐标系上，然后把 \(z\) 轴也转成重合的，才可以再绕着 \(z_{i}\) 轴继续转。

联想理解：这可能是由叉乘的性质决定的。

省略了计算步骤，我们直接给出连杆变换阵的形式：

\[_{i}^{i-1}T = \begin{bmatrix} \cos\theta_i & -\sin\theta_{i} & 0 & a_{i-1}\\ \sin\theta_{i}\cos\alpha_{i-1} & \cos\theta_{i}\cos\alpha_{i-1} & -\sin\alpha_{i-1} & -\sin\alpha_{i-1}d_i\\ \sin\theta_i\sin\alpha_{i-1} & \cos\theta_i\sin\alpha_{i-1} & \cos\alpha_{i-1} & \cos\alpha_{i-1}d_{i}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

3 坐标系的标准命名

  1. 基坐标系 {B}：坐标系 {0} 的别称，与连杆 0（即机械臂底座）固连的坐标系。
  2. 固定坐标系 {S}：又称任务坐标系、世界坐标系或通用坐标系。狭义地看，固连在工作台上；广义地看，即世界坐标系。
  3. 腕部坐标系 {W}：操作臂末端连杆（连杆 \(n\)）的联体坐标系。
  4. 工具坐标系 {T}：附于机器人夹持工具的末端（或者指尖之间）；通常由 W 系确定。
  5. 目标坐标系 {G}：机器人目的地的坐标系；通常移动结束后，T 与 G 重合。

4 坐标系的建立方式和DH参数表的确定方法

  1. 确定每个关节对应的 \(z_i\) 轴。注意，连杆 0 固连坐标系的 \(z_0\) 轴与 \(z_1\) 轴重合。
  2. 考虑 \(z_i\) 轴和 \(z_{i+1}\) 轴。如果两个轴相交，则取交点为坐标系 {\(i\)} 的原点；如果两个轴不共面或平行，则作公垂线，取公垂线与 \(z_i\) 轴的交点为 {\(i\)} 的原点。公垂线为 \(x_i\) 轴，从 {\(i\)} 指向 {\(i+1\)}.
  3. 通过右手法则确定 \(y_i\) 轴。
  4. 最后一个工具坐标系任意选取，只要便于使用都行。