逆运动学¶

参考书目¶

《机器人建模与控制》[美] Mark W. Spong, Seth Hutchinson, M. Vidyasager

一般的逆运动学问题¶

给定一个$4\times 4$的齐次变换矩阵$H = \begin{bmatrix}R & o\\ 0 & 1\end{bmatrix}$，寻找下列方程一个解或多个解： $$ (_n^0T)(q_1, q_2, …, q_n) = H $$ 其中： $$ (_n^0T)(q_1, q_2, …, q_n) = A_1(q_1)A_2(q_2)…A_n(q_n) $$

运动学解耦¶

适用条件：有6个关节且后3个关节轴线交于一点。（解释：一共6个关节，所以会有0号到6号共7根连杆，也就会有$z_0$轴到$z_6$轴7条$z$轴。其中$z_0$轴连关节1，$z_1$轴连关节2，…，$z_5$轴连关节6。这里说的后3个关节轴线，指的是连关节4、5、6的$z$轴，也就是$z_3$，$z_4$，$z_5$）

核心思想：以一个带球形手腕的六自由度机械臂为例，我们可以先求手腕中心（后3个关节轴线的交点）的位置——求前三个关节变量，再求手腕的姿态角度——求后三个关节变量。这种方式将前三个关节变量与后三个关节变量解耦，简化了计算。

已知量：齐次变换矩阵$H$的$R$和$o$已知，即末端执行器相对于参考坐标系的位置坐标和姿态角度已知 $$(_6^0R)(q_1, q_2, …, q_6) = R\\ (_6^0o)(q_1, q_2, …, q_6) = o$$

求解方式：

求手腕中心的位置。因为$z_3, z_4, z_5$交于同一点（手腕中心，记为$^0o_c$）。只需要让$o_c$沿着$z_5$轴的方向平移$d_6$长度就能到达$o_6$的位置（已知信息中的$o$）。所以可列式： $$o = (^0o_c) + d_6 \cdot (_5^0R) \cdot \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$$ 其中的$(_5^0R) \cdot \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$代表$z_5$轴在参考坐标系中的姿态角度。因为本例（斯坦福机械臂）中，$z_5$轴与$z_6$轴重合，所以上式改写为 $$o = (^0o_c) + d_6\cdot R\cdot \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$$ $o$和$R$都是已知量，$d_6$也是一个已知的系统定值，所以可以确定手腕中心在参考系下的坐标 $$(^0o_c) = \begin{bmatrix}x_c\\y_c\\z_c\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}o_x\\o_y\\o_z\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}d_6r_{13}\\d_6r_{23}\\d_6r_{33}\end{bmatrix}$$ 手腕中心的位置只与前三个关节变量有关，从而可以计算出前三个关节变量_{（假设我们真的可以计算出来）}。
求手腕的姿态角度。在上一小点，我们算出了前三个关节变量，于是可以求出$_3^0R$. 因为 $$(_6^0R) = (_3^0R)(_6^3R)$$ 所以可以求出手腕姿态角度 $$\begin{aligned}(_6^3R) &= (_3^0R)^{-1}(_6^0R)\\ &= (_3^0R)^TR\end{aligned}$$ 因为手腕姿态角度只与后三个关节变量有关，所以可以计算出后三个关节变量。